若尔当与赫尔德开始一起研究群的东西。
若尔当对赫尔德说：“很多人讲不清楚群论的问题，其实我这里有个很好的解释的角度。”
赫尔德说：“说说看，如何可以更容易理解？”
若尔当说：“其实就是给各种各样的对称性分类。”
赫尔德说：“对称性有几类，有可以分的吗？不就是点对称和轴对称。难道还有第三种？”
若尔当笑说：“狭隘了吧，对称分很多种呢。”
赫尔德说：“鼓弄玄虚那吧？所有的对称性无非就是这两种对称的堆砌。”
若尔当说：“还有一种轮换对称性，就是我给你扫地，你给他扫地，他给我扫地。这也是一种对称，是啊！你没有想过这个挺常见的问题吗？”
赫尔德想了想，确实没有不能用轴对称和点对称来表示这种轮换对称。
赫尔德也觉得这种轮换对称，也是一种对称性，也有实际用途。
想了良久，对若尔当说：“那对称的基本定义是什么？是干什么用？需要用什么样的数学符号严格规定？”
若尔当苦笑：“我只是想到了轮换对称性，但不知道对称性到底该怎么弄。”
赫尔德继续思索，感觉对称性的最重要宗旨就是，不变性，最终没有改变，或者是一个规则的限制内，就是对称。
赫尔德说：“不论是点对称还是轴对称，都是一种东西，经过对称变换之后，没有脱离这一套东西。这一套东西，我们姑且叫做群。点对称和轴对称是一个东西变成这个东西的另外一个位置而已，东西本身没有什么变化。而你说的轮换对称性，它也是一种变换之后，又回到了自己，然后就是周期性的变化了。”
赫尔德沉浸在自己的思维里，而若尔当说：“我们刚刚考虑的两个和三个的对称，那么四个轮换对称，其实更加复杂，可能还会有一种内在的对角线交叉结构。”
赫尔德说：“以此类推的话，那这些对称就是有两种东西构造的，一个是对象，一个是作用方式。我们只需要给一个作用方式即可。那么，按照你的那个方法，就会找到很多种对称方式了，也就是找到了很多种群。这些群都具备循环不变的性质，就叫循环群。但是我们知道了这些循环后，会发现他们不像数学那么简单。”
若尔当说：“所以，我们需要对这些群分类。”
赫尔德说：“如何去分，才能达到真正的分类效果呢？”
若尔当开始作图，赫尔德也开始跟着作图和写数学符号。
之后若尔当说：“找到其中的一些不变量，如果两个循环群的这种不变量是相等的，就可以证明这两个群是相等的，或者是这两种对称是相等的，不管这两种对称看起来都多不一样。”
赫尔德说：“我找到了一种可以将复杂对称性拆分的方式，如果拆分后那些不变量是相同的，就可以认定这两种对称性相同。”
若尔当说：“我刚刚看到一个12阶长的循环群，发现有1、2、6、12的拆分方式，也有1、2、4、12的拆分方式，也有1、3、6、12这样的拆分方式，这种拆分就是前面是后面群的子群了。发现他们都是可以拆成4步。同时继续让后面对前面做商后，又称为2、3、2和2、2、3和3、2、2等方式。这三组的商是相同的数字，只是顺序不一样罢了。”
赫尔德说：“照你这么说，若群或R模 m有合成列，则任两个合成列都有相同长度。合成因子的同构类与合成列的选取无关，其间至多差一个置换。”
若尔当-赫尔德定理，证明了每一满足阿基米德性质的全序群都同构于实数的加法群的某一子群，200阶以下简单群的分类，发现了对称群S6的异常外自同构。