柯西学习大量的数学知识，心里振奋。就想要好好的研究一番。
在数学上有两个重要方向：一个是严谨性，另一个是创造力上。或者是正因为是严谨的情况下会出现的一种特殊的创造力上。
柯西跟古萨开始讨论关于自己对积分的一些理解。
柯西说：“在复平面里的积分，已经不同于普通坐标系里区间的积分了。在这个里面的曲线，需要对这个曲线进行积分才可以。”
古萨说：“我完全明白你的意思，毕竟复平面坐标系，对一个曲线的路径积分才是真正的积分。”
柯西说：“我可料定，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。”
古萨说：“也可以说单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。”
柯西说：“这种积分，需要研究它绕奇点的圈数。圈数不同就导致积分的值不一样，需要把这一点体现出来。毕竟在复平面内，转圈也是一个比较重要的问题。在三维空间里转两圈的东西，可能在复平面里是一个特殊的形状。”
柯西－古萨定理，是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。
留数定理，就是柯西积分的推广。