c.G.J.雅可比对黎曼说：“你会成为数学专家。”
黎曼说：“我不能保证，一个人如何才能成为大师？”
c.G.J.雅可比说：“你只需要自信即可。”
黎曼说：“我看到了很多大师们，自知能力和水平远远不如他们。”
c.G.J.雅可比说：“你要知道，这个世界可不是什么高人组建起来的，而是很多有责任，有自信的人维持的这一切。如果你没有了自信和责任，你觉得世界还能指望谁呢？”
黎曼听后，觉得信心增强很多。
狄利克雷对黎曼说：“你也要大胆的研究很多超纲的知识，不用管别人那一套你学得过于深奥，不合适当下社会之类的话。你要大胆突破，进入别人根本达不到，但自己觉得极端正确的领域，这才是数学家真正的任务。”
黎曼得到两个老师的指点，学会了很多数学知识和做人的道理。
两年后，学有所成的黎曼回到了哥延根，并开始准备他的博士论文。
1851年11月，在高斯的指导下，他终于完成了论文《复变函数论的一般理论的基础》，文中证明了复变函数可导的必要充分条件，即现在的柯西－黎曼方程，还奠定了函数几何理论的基础。
实际上，高斯对这篇论文的评价很高，他说：“黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，证明作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，以及具有灿烂丰富的想象力。”并且表示他这么多年以来都想写一篇像这样的文章。
自打知道关于复数的事情后，黎曼的脑子里开始充满遐想。
他想：“如果普通的坐标系中引入复数之后，就会有很多不同吧。一个普通的直角坐标系，如果让x轴有了复数。那么就会出现x实轴、x虚数轴和y轴这三个轴。”
黎曼在线：“这会是一种极为奇特的性质，如果让y轴也有一个虚轴，那就是一个画不出来的，四个维度的空间。”
黎曼开始想这个复平面，也是一种实四维空间，这是一个极其吸引人的课题。
“如果圆在现实世界中是360度一圈，那在四维空间中，就是720度一圈吗？”
黎曼画出了一个720度圆，但却是在3维坐标下的，所以会有一个交叉线。
黎曼说：“在四维空间中，当然不会有这样的去交叉线了。”
黎曼说：“或许在四维空间中，普通三角形的内角和也会发生一定的改变，但是如何去规范这些东西呢？”
黎曼知道关于欧拉的解析延拓，明白了很多原来实坐标系中很多函数的定义域是有限制的，而到了这种复平面中，才发现很多函数的定义域可以不可思议的扩充。
黎曼开始研究很多各种函数在复平面中的样子，把自己能想到的所有知识都用在里面。
后来，开始着重研究zeta函数，发现zeta函数的很多解，平凡的解已经得知。而非平凡的解出现了一个令人困惑的现象，就是这些非平凡零点的解法，好像在x=1\/2的一个轴上，同时精通素数的黎曼人为非平凡零点的解法与素数的分布好像有什么关系。
这就是黎曼猜想。