布拉里对福蒂说:“什么是良序集,就是用一种关系让集合中元素可以根据一个顺序连接起来。”
有一个集合 S ={1,2,3},在这个集合上有一个关系<,这个关系的意思举例来说就是x
有一个集合 S ={A同学,b同学,c老师},在这个集合上有一个关系<, 这个关系的意思举例来说就是x
全序必须要分出大小,偏序可以不分出大小。
福蒂说:“没错,关系的重要性不言而喻。”
布拉里说:“但是这里有个问题,就是序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数Ω,这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。可是由序数的定义,序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数,因此Ω应该比任何序数都大,从而又不属于Ω。”
福蒂说:“这个序数的自然顺序只是一个偏序。”
布拉里说:“可是康托尔认为序数集合是全序。”
福蒂说:“序数集虽然是全序,但并非良序。”
布拉里说:“这种说法靠不住,因为任何给定序数的初始一段都是良序的。”
由布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出。
这是头一个发表的近代悖论,它引起了数学界的兴趣,并导致了以后许多年的热烈讨论。
有几十篇文章讨论悖论问题,极大地推动了对集合论基础的重新审查。
法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路,他区分了相容集和不相容集。