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自从发现马尔科夫链之后,马尔可夫便开始进行深度挖掘。

一个系统的某些因素在转移中,第n次结果只受第n-1的结果影响,只与当前所处状态有关,与其他无关。在马尔科夫分析中,引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态;状态转移是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。

马尔可夫认为自己可以对一个系统进行预测,自己可以当一个完美的算命先生。

就是使用马尔可夫转移矩阵法。

假定某大学有1万学生,每人每月用1支牙膏,并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月(12月)调查,有3000人使用A牙膏,7000人使用b牙膏。又据调查,使用A牙膏的3000人中,有60%的人下月将继续使用A牙膏,40%的人将改用b牙膏;使用b牙膏的7000人中,有70%的人下月将继续使用b牙膏,30%的人将改用A牙膏。

现用\\拟用 A牙膏 b牙膏

A牙膏 60% 40%

b牙膏 30% 70%

根据这个表,马尔可夫用矩阵表示。

b=[ 60% 40%]

[ 30% 70%]

称为转移概率矩阵。可以看出,转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为1。在本例中,其经济意义是:现在使用某种牙膏的人中,将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。

有了转移矩阵,可以预测下一个月(1月)的使用各种牙膏的人数。

(3000 ,7000)[ 60% 40%]=(3900,6100)

[ 30% 70%]

如果转移概率矩阵不变,继续可以预测2月份情况

(3900,6100)[ 60% 40%]=(4170,5830)

[ 30% 70%]

二月份使用牙膏数也知道了。

而且从中可以看出其中2个月的变化,就是这个矩阵的二次方。

辛钦对马尔可夫说:“你发现的第n次结果只受第n-1的结果影响,只与当前所处状态有关,与其他无关。这个会有很大作用吗?感觉n-1以前的全部作废了?”

马尔可夫说:“你的脑子还是没转过来吧。n-1与n-2有关联,n-2与n-3有关联啊!”

辛钦说:“我们不是要研究n的状态吗?前面的我们还要管他干嘛?”

马尔可夫说:“很多系统,在时间演变过程中,我们只是取到其中几个时间点的一些碎片。我们要把整个系统的演化过程推演出来,之后分成很多段时间点,把从上到下的每个转移矩阵推敲出来,然后对系统前后的变化进行推敲。”

辛钦摇摇头说:“概率转移矩阵又不是恒定的?你这样做的意义?”

马尔可夫说:“不一样,所以可以把每个状态的概率矩阵都写出来,然后观察其中的变化。”

辛钦说:“试图寻找稳定的,或者即使是不稳定的,也是可预测的那种?”

辛钦说:“是的。”

后来结合蒙特卡洛,马尔科夫又发现了马尔可夫链蒙特卡洛方法(markov chain monte carlo),简称mcmc,产生于19世纪50年代早期,是在贝叶斯理论框架下,通过计算机进行模拟的蒙特卡洛方法(monte carlo)。该方法将马尔科夫(markov)过程引入到monte carlo模拟中,实现抽样分布随模拟的进行而改变的动态模拟,弥补了传统的蒙特卡罗积分只能静态模拟的缺陷。mcmc是一种简单有效的计算方法,在很多领域到广泛的应用,如统计物、贝叶斯(bayes)问题、计算机问题等。

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