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就凭开创类域论这一项成就,高木贞治就足以站在这个位置。

类域论是现代数论的中心,研究数域上阿贝尔扩张的理论,如今已经渗透到数学各个分支,构造类域的世纪难题,依然是当今数学的最重要的中心之一。

高木贞治是日本现代数学最重要的开创者和祖师爷,早年游学德国,回日本后培育了整整一代的日本数学家!可以说,高木贞治大师是现代日本数学的真正意义上的开创者。

高木贞治的伟大成就,经他教育传承下,奠定了日本代数,数论学派的深厚传统,时至今日,日本仍然是世界抽象代数、代数数论研究的重镇。

高木贞治知道阿贝尔的扩张论,对伽罗瓦解释数域的扩张,和高次方程无解的理论都有很大的帮助。

阿贝尔扩张是一类重要的域扩张,设K是域F的伽罗瓦扩域,若其伽罗瓦群G(K\/F)为一阿贝尔群,则称此扩张为阿贝尔扩张,此时,K称为F上阿贝尔扩域。

但高木贞治认为,属于的扩张可以已经基本的算数运算,在算数运算的扩张可以看看数字可以饱满到什么程度。

高木贞治对小平邦彦说:“人类是怎么定义数字的?会不会不讲究啊!”

小平邦彦说:“你指的是自然数?那皮亚诺公理不是从新定义了吗?规范了呀。”

高木贞治说:“只能说自然数或者是整数还勉强的符合群论或者环论的一些东西,其他的小数、无理数、超越数恐怕就难以用群、环、或者交换环或者是伽罗瓦的扩张来得到了,来自人的灵性而已吗?”

小平邦彦说:“发现如此之多的数学工具,不就是为了重新规范这些已经存在的有用的各种数字嘛,这点类也受不起?”

高木贞治说:“如果是1用皮亚若公里扩展到自然数,在加个加法交换性得到负数,乘法交换性和商群得到小数,然后加个i扩展到复数。但来个非交换的矩阵,说实话,不太能吃得消。你说一下,你顶得住非交换的东西嘛?”

小平邦彦说:“但数学中普遍存在呀!”

高木贞治说:“任何一个人都不喜欢不对称的,也不喜欢非交换的,所谓此刻的非交换,也只是为了下一次的巨大的交换做准备的,所以任何一种域,都可以用阿贝尔扩张出来。”

小平邦彦说:“胡说,你喝多了吧!”

高木贞治说:“非但没有,我还要跟你死磕到底,咱们要来个这个世界上有没有非交换的东西来掰扯一下。”

小平邦彦说:“有非交换的,很多矩阵就是。”

高木贞治说:“幼稚,那些矩阵我可以还原出一些原型,改造成可以交换的易如反掌。”高木贞治开始写出了一个矩阵,然后再周围加了一圈零。对小平邦彦说:“你看看,这不就改造成交换的了吗?”

小平邦彦说:“你加了0,那就不是原来的矩阵了。”

高木贞治解释道:“谁说的?你眼里就是什么2乘2阶,3乘3阶矩阵。那是你每看透,都是无穷阶的,其中只有2乘2阶,3乘3阶有非零的数字,其他都是0而已,每个矩阵阶数相等,都是无穷乘无穷阶的。”

小平邦彦说:“你太突破传统了,我不太能接受你那个所谓的简写0的矩阵这个说法,即使你耍赖,我还能找到很多的非交换的东西。”

高木贞治笑说:“一样的,即使是操作模仿,我也能把模仿弄成个其他东西,即使旋转三角形那些,也是一样,我都可以给你变变。最终你发现,你找不到非交换的东西。”

小平邦彦说:“照你这么说,数学都是交换的,岂不是更容易统一了?大喜事呀!”

高木贞治说:“不完全对,即使世界上任何一个东西都是由一个简单的元交换出来的,但是这个交换过程极其繁琐,是一大堆的逻辑符号,就算用范畴论的语言都需要写好几页呢。”

小平邦彦无语:“那还不如非交换呢,把非交换弄简单点,不也可以操作嘛!”

阿贝尔感觉到,关于数论中同余的问题,往往就会关联有限群。

这是不可避免的。

只要以规范,就会让其得到大面积惊人的使用。

比如二律互反等一类的数论问题,在有限域这种地方也能用得着。

那么近下来,让大家接受有限数域,就是最终于的问题了。

对于此,阿贝尔扩张就是关于这个问题的研究的,同时后人有循环扩张、分圆扩张及库默尔扩张。

对于分圆扩张,克罗内克发展了克罗内克的青春梦。

而高木贞治,解决了克罗内克青春梦猜想。

类域论就是研究怎样用k的元素来描述k的所有阿贝尔扩张的问题。

1920年日本数学家高木贞治完成了类域论的最早突破:对于每个扩张K,都对应k中的一个对象t(K),即k的理想类群在某一等价关系之下的一个等价类。

高木描述了这些t(K)的集合,而且每一个t(K)都刻划k的唯一的阿贝尔扩张K,并且K的代数及算术性质可由t(K)直接推出。

对这个漂亮的定理,高木给出的证明非常繁复,中间还要用到解析的方法,但其中起主要作用的是定义狄利克雷L级数。

之前几百年,高斯发现了二次互反律的多种证明。

1920年,高木贞治发展了关于数域的阿贝尔扩张理论,和类域论。

后来阿廷发现了阿廷互反律。

从中发现了在数论、群论和代数几何之间的相互联系。

同余代数,对于椭圆曲线与模形式。

而模形式对应艾森斯坦级数。

所以二律互反对于级数,一般级数使用狄利克雷的L级数来表示的。

阿廷就发现了这个东西,后来推广到阿廷互反律。

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