在拉马努金提出的定理中,经常涉及到连分数的概念,它会将一个数表示成为无限的嵌套分数和。以色列理工学院的数学家Gal Raayoni和他的同事受到拉马努金的启发,利用这种思路发明了一种新颖、系统的方法,并将它取名为拉马努金机。这是一种计算机程序,它可以利用算法推导出基本常数的新的数学公式,并揭示其基本结构。
与物理和所有其他科学中的测量不同,数学常数可以用一个恰当的公式计算到任意精度(即小数点后任意位),从而提供的是一个绝对的基本真理。
从这个意义上说,数学常数包含的是无限数量的数据(例如无理数中的无限数列序列)。
e和π就是两个几乎无处不在的基本数学常数,从抽象的数学到几何物理,从生物到化学,到处都有他们的身影。
然而,几个世纪以来,与基本常数有关的新的数学公式很少出现,只有非常偶尔才有零星的发现。
但是利用新的算法,拉马努金机已经找到了几十个表示π、e,以及黎曼ζ函数值的连分数。
其中有的是之前就被数学家找到的,还有一些则是全新的。
在这项研究中,Raayoni等人提出了两种算法,它们被证明在发现新结果方面非常有效:一种是密码学里的中途相遇(mItm)算法的变体,还有一种是针对连分数递归结构的梯度下降(Gd)算法。这两种算法都是基于数值匹配,因此可以在不需要证明,也不需要具备任何数学结构的先验知识就能找到新的猜想公式。
mItm需要生成许多的数学表达式,为有限次数的迭代计算它们的值,然后消除那些给出不准确结果的表达式。
例如,e的值是以2.718开头的小数,当试图近似e时,任何可能产生过高或过低的值的猜想都将被排除。
再计算出那些似乎可行的猜想,进行更多的迭代,以确定哪些猜测可能正确的。
这样的方法对没有数学结构的基本常数格外有吸引力,因为它推翻了在形式证明中时序逻辑的传统方法。研究人员提出了一种新的概念方法:这是一种利用数值数据揭示新的内部结构和猜想的计算机算法,就像拥有了过去只有伟大的数学家才具有的数学直觉,为新的数学研究提供了线索。
华威大学的数学家Saul Schleimer认为,拉马努金机就像是一个泛化的试错过程,它可以在不知道这些猜想为什么正确的情况下产生这些猜想,而且它也像拉马努金一样很喜欢连分数。不过,Schleimer表示,他认为拉马努金机是比不上拉马努金的,因为拉马努金的连分数更加微妙,在某种意义上说更加成熟。所以他认为虽然这是一项很好的实验数学,但还不能被当做是一种新的思维方式。
研究小组希望人们可以为新的猜想提交证明,他们将拉马努金机的软件分享在网站上供人下载使用。他们决定,一旦有谁发现了某个猜测,就会用发现者的名字为该猜想命名。