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不可积分函数的问题出现多年,但让此刻的勒贝格陷入沉思。

明明那种函数是有一定面积的,为什么非说不可积分,但要去求也无法按照固有模式下手。

若尔当曾提醒:“为什么按照黎曼积分才叫最合理?难道没有其他形式的积分吗?”

勒贝格想:即使如老师所说,也不能直接突兀的找奇特形式的积分。就算是要找,那也需要对这种新的积分形式有一个好的解释。

这个解释就是,什么是真正的可积分的?

很多模型的问题在于,体积的单元和组成体的东西的方式多不严谨,探讨和计算之时,出现了很多不可思议的错误,这种矛盾上升到哲学层面,就是人类对点线面的认识不够深刻。

如果想要深刻,不能在测量的问题上产生矛盾。

勒贝格第一时间想到了等间距的点阵,数点的个数,总是不会有太大错。点又个数,没有体积,不会自我相交。点的个数在某种层面上,就是代表点阵的准确面积和体积。

无非就是知道长度之和,求长宽高直接相乘就可以了,如何一个可以测的,就是长度符合可以测量的标准,让长宽高相乘就可以了。

“是多少个点,就是多少个体积,就是笨办法来求,也指定不会错误。”

点阵在古代就是形数,曾解决毕达哥拉斯定理的证明。

此刻依然可以在看似不可积分的积分问题上能够发挥作用,发挥严谨解释的作用。

勒贝格笑了:“真正的体积和面积是由连绵不断的点组成的,哪里像我所说如此简单,弄个点阵呢?”

其实,只要让一个数学坐标中,符合点阵的一种数学模型存在就行,那种无限的点阵铺满坐标的形式,就是环。

环在宏观上,好解释,把坐标中单位为1的网格画出来,就是一个很简单的整数环。

但是坐标中有大量的小数,那这些无穷小的小数位单位,画网格就不容易了,那就把单位为 1的网格进行类比。之后找到网格环的运算最基本规律,套用在无穷小小数上,只要这个小数的格符合这个运算,那就是小数的环。即使是无理数,如果符合这个环,那也是环运算。

所以坐标要是一个标准的那种方格为无限小的环,这种环不乱来,很严谨,可求积分,也就是可以求出体积。

勒贝格认为:“不需要点阵了,点阵直接不想相交的豪斯多夫这种东西,也可以去求体积,可求积分。”

“不仅要消灭点阵,而且点阵有不合理的地方,点阵之间的空隙太大,不好。要变成方块堆叠才可以,方块堆叠形成体积,只需要求出方块个数,和方块的体积。方块堆叠起码没有空隙。所以在数学上,除了点阵方块可以求,还得保证空隙处,也叫补集,也得是可测的才行。”

如果点,不能说体积是大于0的,但是对于方块体积肯定是大于0的。既然是可以测量,那体积肯定应该大于0才行。

多个方块的体积肯定大于少个方块的体积,少个方块是多个方块的子集,那么子集的体积肯定比原集的体积小。

多个方块合起来,那也是可测的,其中有交集和并集。

如果没有方块,那体积为0,就是0测度,这也不是不可测的。

移动方块的位置,那还是可测的。

若尔当问:“你说的那个方块是正方体的吗?”

勒贝格笑了笑道:“就是长方体的有什么问题吗?就是任意六面体的有什么问题吗?”

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